Sai Phân Là Gì

  -  
Các khái niệm cơ bạn dạng 1. Hàm số đối số nguim Hàm tất cả tập xác định thuộc Z Call là hàm số tất cả đối số ngulặng. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = simãng cầu (a là hằng số) 2. Định nghĩa không đúng phân: Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số tại nhị quý hiếm sau đó nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un Sai phân cấp m của hàm số Un là không nên phân của không đúng...


Bạn đang xem: Sai phân là gì

*

CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂNI. Các định nghĩa cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm có tập xác định trực thuộc Z Hotline là hàm số gồm đối số nguyên.Ký hiệu y = f(n). f(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số)2. Định nghĩa không đúng phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số trên hai cực hiếm tiếp đến nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cấp cho m của hàm số Un là sai phân của không đúng phân cung cấp m-1 của hàm số đó : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn sai phân cấp cho 2 được xem :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương tự ta rất có thể trình diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình không nên phân Định nghĩa : là PT với hàm số buộc phải search là 1 trong hàm đối số tách rộc rạc f (n) = Un gồm mặtdưới dạng sai phân các cấp.PT không nên phân cung cấp m gồm dạng tổng thể : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay rất có thể viết dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT sai phân là hàm số đối số tránh rốc Un =f(n) nhưng mà Khi cố kỉnh Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng nhất thức bên trên tập thích hợp các số nguim n0.Nghiệm bao quát của một PT sai phân cung cấp n bao gồm dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) trong đóC1, C2,...,Cn là những hằng số bất kể, Lúc gán cho từng kí từ bỏ C1, C2,...,Cn một trong những xác địnhta được một nghiệm riêng của PT.PT sai phân Ôtônôm là PT gồm dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình sai phân tuyến tính1. Phương thơm trình không đúng phân tuyến đường tính cung cấp 1Định nghĩa: Là pmùi hương trình gồm dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong số đó an, bn, fn là những hàm đối số ngulặng. Un và Un+một là nhị quý hiếm kề nhau của hàmUn đối số nguyên ổn buộc phải tìm kiếm.Nếu an và bn là những hằng số thì ta gồm pmùi hương trình sai phân hệ số hằng.Phương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) call là phương thơm trình thuần tuyệt nhất tương ứng của (1).Ví dụ:Một người tiêu dùng tất cả số chi phí là A đồng, đem gửi tiết kiệm ngân sách, lãi xuất từng tháng là 1%.Lập quy mô về thực trạng tiền vốn của khách hàng. 1Ta gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương trình sai phân cung cấp caoa. Pmùi hương trình không nên phân cấp cho 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn với cn là các hằng số thì ta có phương trình không nên phân hệ số hằng.Nếu fn = 0 thì ta có phương thơm trình thuần duy nhất liên kếtung.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là một nghiệm của PT sai phân tuyến đường tính ko thuần độc nhất vô nhị cùng U1n, U2n là 2nghiệm tự do tuyến tính của PT thuần tốt nhất links thì nghiệm tổng quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã đến Fibonacci một bài toán thù nhỏng sau: “Hômnay, bạn ta tặng tôi một cặp thỏ. Biết thỏ nhị tháng tuổi bước đầu đẻ cùng sau đó mỗimon đẻ một lứa, mỗi lứa là một trong cặp thỏ. Hết năm, tôi gồm bao nhiêu cặp thỏ ?”Giải: call Fn là số cặp thỏ đã có được ngơi nghỉ tháng đồ vật n.Tháng trước tất cả Fn-1 cặp, trong những số ấy chỉ gồm số thỏ mon trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương thơm trình sai phân cấp kLà phương thơm trình tất cả dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình sai phân con đường tính cung cấp 1 thông số hằng1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần độc nhất vô nhị Nghiệm tổng thể : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 dân sinh TP.. hà Nội là một,6 triệu con người, tốc độ tăng dân số là 1% 1 năm. Hỏidân sinh Hà Thành năm 2050 là bao nhiêu?Giải: Gọi un là dân số Hà Nội năm máy n + 1990 1Ta bao gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Phương thơm trình không nên phân con đường tính ko thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) với q 0. PT thuần nhất liên kết Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là 1 trong những nghiệm của PT không nên phân con đường tính không thuần độc nhất vô nhị (1) cùng U1n là mộtnghiệm của PT thuần duy nhất links (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm bao quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa search nghiệm riêng của (1) : q+) Nếu p -1 nghiệm riêng rẽ là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng rẽ là = qn.IV. Phƣơng trình sai phân tuyến đường tính cấp 2 hệ số hằng1. Pmùi hương trình không nên phân tuyến tính thuần độc nhất vô nhị :Xét phương thơm trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: Nếu xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng chính là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn và yn độc lập tuyến tính y0 y1Bổ đề 2: Nếu xn, yn là nghiệm riêng rẽ độc lập tuyến đường tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm tổng thể của (3).Chứng minh:call Un là một nghiệm bất kỳ của (3). Ta chứng tỏ rằng vĩnh cửu Au và Bu làm sao cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là những hằng số phụ thuộc vào un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm duy nhất Au cùng Bu.

Xem thêm: Cocc Là Gì ? Cocc Là Từ Viết Tắt Của Từ Nào? Viết Tắt Của Từ Gì



Xem thêm: Giải Đáp Cầu Phong Là Gì ? Công Dụng Tuyệt Vời Của Cầu Phong Li Tô

U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minch bởi quy hấp thụ, ta bao gồm Un = Au.xn + Bu.yn các nghiệm của (3) phần đa trình diễn qua xn cùng yn đ.p.c.mTa tìm nghiệm riêng rẽ bên dưới dạng xn = λn (λ 0). Ttốt vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương thơm trình (4) Điện thoại tư vấn là pmùi hương trình đặc trưng của (3).Trường hòa hợp 1: Nếu (4) bao gồm hai nghiệm thực tách biệt λ1 với λ2 (3) gồm nhị nghiệmriêng rẽ chủ quyền con đường tính xn = λ1n với yn = λ2n .Nghiệm tổng thể Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường hợp 2: Nếu (4) gồm nghiệm kép là λ0, (3) có nhị nghiệm riêng rẽ chủ quyền tuyếntính xn= λ0n và yn = n.λ0n .Nghiệm tổng quát Un = (C1+ nC2) λ0n p .iTrường hợp 3: Nếu (4) tất cả nhì nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p ) với với r = A2 + B2 cùng α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) bao gồm nhị nghiệm riêng biệt chủ quyền đường tính là xn = rn.cosnα và yn = rn.sinnαNghiệm bao quát Un = rn . 4Ví dụ 1: Tìm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Pmùi hương trình đặc trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 và λ2 = 2Vậy nghiệm tổng quát un = A + B.2n. u0 = A + B = 1 Hệ pmùi hương trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 cùng B = -1. nVậy nghiệm riêng rẽ vừa lòng là un = 2 – 2 5lấy ví dụ như 2: Tìm nghiệm un+2 = 2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Phương thơm trình đặc trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 và λ2 = 2 1Vậy nghiệm tổng quát un = A 2n + B.2n. u0 = A + B = 0 Hệ phương thơm trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng rẽ nên tìm kiếm là un = 3 (2-n – 2n)lấy một ví dụ 3: Tìm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25unBài làm:Phương thơm trình sệt trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm tổng quát un = (A + Bn)5nlấy ví dụ 4: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương trình quánh trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm tổng thể un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ phương thơm trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng nên kiếm tìm là un = 1 + nlấy ví dụ như 5: Tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0Bài làm: Pmùi hương trình quánh trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. n.Vậy nghiệm tổng thể un = Acos 3 + Bsin 3ví dụ như 6: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Phương trình sệt trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. n.Vậy nghiệm bao quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ phương thơm trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 cùng B = 0. n.Vậy nghiệm riêng biệt yêu cầu search là un = 2n.cos 32. Phương thơm trình không nên phân tuyến đường tính ko thuần độc nhất Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta tìm nghiệm riêng rẽ U*n của (5) : ? r+) Nếu p+q -1 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = 1pq+) Nếu p+q = -1 rn khi p -2 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = p2 rn 2 * khi p = -2 thì nghiệm riêng rẽ là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần tốt nhất link ta suy ra nghiệm bao quát của (5).Trường hòa hợp Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét sinh sống dạng bao quát cho PT không nên phân tuyếntính hệ số hằng cung cấp k.V. Phƣơng trình không đúng phân con đường tính cung cấp k thông số hằng.1. Pmùi hương trình không nên phân tuyến đường tính thuần độc nhất vô nhị cấp cho k hệ số hằng:Là phương trình gồm dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong số đó a0, a1, …, ak là những số thực. 6Ta search nghiệm riêng biệt bên dưới dạng Un = λn, cầm cố vào (6) ta gồm phương trình quánh trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường hợp 1: Nếu (7) tất cả k nghiệm thực biệt lập λ1, λ2, … λk ta gồm k nghiệmriêng biệt hòa bình đường tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm tổng thể : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường vừa lòng 2:Nếu (7) bao gồm nghiệm bội, ví dụ điển hình λ1 gồm bội s cùng k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta sửa chữa s nghiệm riêng x1n, x2n, …, xsn tương ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm bao quát : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+...+ Ck. λknTrường thích hợp 3: Nếu phương thơm trình (7) có nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ sở hữu nghiệm phức phối hợp λ2 = r(cosα - i.sinα) với k-2 nghiệm thực tách biệt, khikia tương ứng ta sửa chữa thay thế x1n = rn.cosnα cùng x2n = rn.sinnα trong nghiệm tổng thể.Nghiệm tổng quát : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknlấy một ví dụ 1: Tìm nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 - 30un = 0.Bài làm: Pmùi hương trình sệt trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 và λ3 = 5Vậy nghiệm bao quát un = A1.2n + A2.3n + A3.5nlấy một ví dụ 2: Tìm nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 - 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Pmùi hương trình sệt trưng:λ3 - 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 cùng λ3 = 3Vậy nghiệm tổng thể un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ pmùi hương trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 với C = -5.Vậy nghiệm riêng thoả mãn là un = (5 + 3n).2n – 5.3nVí dụ 3: Tìm nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Phương trình sệt trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. n.Vậy nghiệm bao quát un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Phương trình không nên phân con đường tính không thuần độc nhất cấp cho k hệ số hằngLà pmùi hương trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong số đó a0, a1, …, ak là những số thực, fn 0n.Phương trình thuần độc nhất vô nhị khớp ứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm bao quát của pmùi hương trình (8) bằng nghiệm bao quát của phươngtrình (6) cộng cùng với nghiệm riêng bất kỳ của (8).Chứng minh:Giả sử vn là nghiệm tổng thể của (6) với xn là nghiệm riêng của (8).Đặt un = vn + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = vn + xn.Ngược lại hiệu 2 nghiệm riêng ngẫu nhiên của (8) cũng là nghiệm riêng biệt của (6). Vậynghiệm tổng thể của (8) bằng nghiệm tổng thể của pmùi hương trình (6) cùng vớinghiệm riêng ngẫu nhiên của (8).Cách tìm kiếm nghiệm riêng xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường vừa lòng 1:Nếu λ = một là nghiệm cấp s của phương trình đặc thù ( s rất có thể nhận quý giá 0) thìnghiệm riêng biệt có dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) cùng tìm ci bằng phươngpháp hệ số biến động. Nếu λ = 1 ko là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng biệt có dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 cùng tìm Ci bằng phương pháp thông số bất định. fn = Pm(n).βnTrường đúng theo 2: Nếu λ = β là nghiệm cấp cho s của phương thơm trình đặc trưng (s rất có thể nhấn giá trị 0) thìnghiệm riêng biệt bao gồm dạng xn= Qm(n).ns.βn, thay vào phương thơm trình tra cứu Qm(n) bởi phươngpháp thông số bất định. Nếu λ = β không là nghiệm của phương trình đặc thù thì nghiệm riêng rẽ tất cả dạngxn= Qm(n).βn, cầm vào pmùi hương trình tra cứu Qm(n) bằng phương thức hệ số bất định. fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường hòa hợp 3: Ta tìm nghiệm riêng biệt dạng xn = x1n + x2n. 8Trong đó x1n là nghiệm riêng rẽ ứng với f1(n) = Rl(n) (đem đến trường vừa lòng 1) cùng x2n lànghiệm riêng biệt ứng với f2(n) = Pm(n).βn (đem về trường đúng theo 2). 5ví dụ như 1: Tìm một nghiệm riêng rẽ của pmùi hương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 cùng λ2 = 2 λ = 1 ko là nghiệm ta search nghiệm riêng dạng xn= an2 + bn+ cTtốt vào phương trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c - 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. xn = -2n2 + 2n - 10Đồng tốt nhất thông số a = -2, b =2 cùng c = -10ví dụ như 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Pmùi hương trình đặc thù λ2 –1 = 0 λ1= 1 và λ2 = -1 λ = một là nghiệm 1-1 ta tra cứu nghiệm riêng biệt dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Txuất xắc vào pmùi hương trình a = 1, b = c = 0 5ví dụ như 3: Tìm một nghiệm riêng biệt của phương thơm trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Phương thơm trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 ta tra cứu nghiệm riêng biệt dạng xn= A.3n λ = 3 ko là nghiệm 5 2 2Thay vào pmùi hương trình, ta có: A.3n+2 - 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 - 2un = -3. 2nlấy ví dụ 4: Tìm một nghiệm riêng của phương thơm trìnhBài làm: Phương trình đặc trưng λ2 – λ - 2 = 0 λ1= 2 và λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm solo ta kiếm tìm nghiệm riêng dạng xn= A.n.2n 1 -nTxuất xắc vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = - 2 xn = 2 .2nlấy ví dụ 5: Tìm một nghiệm riêng rẽ của phương thơm trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng ví dụ 1 và ví dụ 3 nghiệm riêng rẽ xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình sai phân 9