Giáo Trình Quy Hoạch Tuyến Tính

  -  

Giáo trình "Quy hoạch tuyến tính" cung ứng cho những người đọc những kiến thức: Giới thiệu bài bác tân oán quy hướng đường tính, quy hướng tuyến tính tổng quát với chính tắc, điểm lưu ý của các tập hợp các phương pháp, lý thuyết cơ bản về quy hướng tuyến đường tính-Một số ví dụ mở đầu,... Mời chúng ta cùng tìm hiểu thêm nội dung cụ thể.




Bạn đang xem: Giáo trình quy hoạch tuyến tính

*

cit.ctu.edu.vn 2/129 MATHEDUCARE.COMGiới thiệu bài toán thù quy hướng tuyến tínhCó thể nhất thời có mang quy hướng đường tính là nghành nghề dịch vụ toán thù học nghiên cứu và phân tích các bài toánbuổi tối ưu nhưng hàm mục tiêu (vấn đề được quan lại tâm) với các ràng buộc (điều kiện của bàitoán) rất nhiều là hàm với những phương trình hoặc bất phương thơm trình con đường tính. đây chỉ là mộtkhái niệm mơ hồ, bài xích tân oán quy hoạch con đường tính sẽ được xác minh rừ ràng hơn thôngqua các ví dụ .công việc nghiên cứu và vận dụng một bài xích tân oán quy hoạch tuyến đường tính nổi bật là nhưsau :a- xác minh vụ việc buộc phải xử lý, thu thập tài liệu.b- lập mụ hình toán học tập.c- xây đắp các thuật toán để giải bài xích toán thù đó quy mô hoặc bằng ngạn ngữ thuận lợimang lại câu hỏi thiết kế đến đồ vật tínhd- tính toán thử cùng kiểm soát và điều chỉnh quy mô ví như đề nghị.e- Áp dụng giải những bài tân oán thực tiễn.Bài tân oán vốn đầu tưtín đồ ta cần phải có một lượng (buổi tối thiểu) chất bổ dưỡng i=1,2,..,m vì các thức ănj=1,2,...,n hỗ trợ. đưa sử :aij là con số hóa học bổ dưỡng một số loại i bao gồm trong một đơn vị thức nạp năng lượng một số loại j(i=1,2,...,m) với (j=1,2,..., n)bi là nhu cầu tối thiểu về nhiều loại dinh dưìng icj là giỏ sở hữu một đơn vị thức nạp năng lượng loại jvụ việc đề ra là bắt buộc download các loại thức ăn uống như thế nào nhằm tổng chi phí chi ra ít nhất màvẫn đáp ứng nhu cầu được thử khám phá về bổ dưỡng. vấn đề được xử lý theo mô hình sau đây:điện thoại tư vấn xj ≥ 0 (j= 1,2,...,n) là con số thức ăn sản phẩm công nghệ j yêu cầu download .tổng ngân sách cho việc chọn mua thức ăn uống là : 3/129 MATHEDUCARE.COMvày ngân sách bỏ ra để mua thức ăn đề xuất là thấp tốt nhất đề xuất đề nghị cần được vừa lòng là :lượng dinh dưỡng i nhận được từ thức ăn uống một là : ai1x1 (i=1→m)lượng dinh dưỡng i nhận được từ thức ăn uống 2 là : ai2x2.........................................................lượng dinh dưỡng i nhận được từ thức ăn uống n là : ainxnvậy lượng bổ dưỡng vật dụng i chiếm được từ các một số loại thức ăn là :ai1x1+ai2x2+...+ainxn (i=1→m)bởi vì lượng bổ dưỡng vật dụng i thu được đề nghị thỏa từng trải bi về bổ dưỡng nhiều loại đó đề nghị ta cóbuộc ràng sau :ai1x1+ai2x2+...+ainxn ≥ bi (i=1→m)lúc đó theo những hiểu biết của bài xích toỏn ta cú mụ hỡnh toỏn sau đây :Bài tân oán lập chiến lược sản xuấttừ bỏ m nhiều loại nguyên liệu hiện nay có fan ta muốn cấp dưỡng n một số loại thành phầm 4/129 MATHEDUCARE.COMmang sử :aij là lượng vật liệu nhiều loại i dùng để cung ứng 1 mặt hàng một số loại j(i=1,2,...,m) và (j=1,2,..., n)bi là số lượng nguyờn liệu nhiều loại i hiện nay cúcj là ROI nhận được từ những việc bỏn một đơn vị chức năng sản phẩm một số loại jvấn đề đề ra là pthủy sản xuất mỗi loại sản phẩm là từng nào sao cho tổng ROI thuđược từ những việc phân phối các thành phầm lớn nhất vào điều kiện nguyên vật liệu hiện nay có.gọi xj ≥ 0 là số lượng sản phẩm đồ vật j đang thêm vào (j=1,2,...,n)tổng lợi tức đầu tư thu được từ các việc bỏn cỏc sản phẩm là :bởi vì trải nghiệm lợi tức đầu tư thu được tối đa yêu cầu ta cần phải có :lượng nguyên vật liệu vật dụng i=1→m dùng để cung ứng sản phẩm trang bị 1 là ai1x1lượng nguyên vật liệu thứ i=1→m dùng để làm tiếp tế thành phầm thứ hai là ai2x2...............................................lượng nguyên vật liệu đồ vật i=1→m dùng làm chế tạo sản phẩm đồ vật n là ainxnvậy lượng nguyên liệu sản phẩm i dùng để làm tiếp tế là các thành phầm làai1x1+ai2x2+...+ainxnvì chưng lượng nguyên vật liệu sản phẩm i=1→m dùng để cấp dưỡng những một số loại thành phầm thiết yếu vượtvượt lượng được hỗ trợ là bi nờn :ai1x1+ai2x2+...+ainxn ≤ bi (i=1,2,...,m) 5/129 MATHEDUCARE.COMvậy theo trải nghiệm của bài tân oán ta có quy mô tiếp sau đây :Bài toán vận tảifan ta buộc phải chuyển vận hàng hoá trường đoản cú m kho cho n cửa hàng bán lẻ. lượng hàng hoá ởkho i là yêu thích (i=1,2,...,m) cùng nhu cầu mặt hàng hoỏ của siêu thị j là dj (j=1,2,...,n). cước vậnchuyển một đơn vị mặt hàng hoá từ kho i cho của hàng j là cij ≥ 0 đồng.giả sử rằng tổng sản phẩm hoá cũ sinh hoạt những kho và tổng nhu yếu hàng hoá sinh hoạt các shop là bằngnhau, có nghĩa là :bài bác toán đề ra là lập chiến lược di chuyển để chi phí cước là nhỏ tuổi tốt nhất, cùng với điều kiện là mỗishop những nhấn đủ mặt hàng cùng từng kho phần đa trao không còn hàng.gọi xij ≥ 0 là lượng mặt hàng hoá đề xuất vận tải trường đoản cú kho i đến cửa hàng j. cước vận chuyểnchuyển hàng hoá i mang lại tất cả những kho j là : 6/129MATHEDUCARE.COM 7/129 MATHEDUCARE.COMQuy hoạch đường tính tổng thể với chủ yếu tắcQuy hoạch tuyến tính tổng quátTổng quát mọi bài toán quy hoạch tuyến tính cụ thể bên trên, một bài xích tân oán quy hoạchtuyến đường tính là một trong những quy mô toán tìm cực tè (min) hoặc cực đại (max) của hàm mục tiêucon đường tính cùng với những buộc ràng là bất đẳng thức với đẳng thức con đường tính. Dạng tổng quátcủa một bài bác toán thù quy hoạch đường tính là :Trong đó :? (I) Hàm mục tiêuLà một đội nhóm phù hợp tuyến đường tính của các đổi mới số, bộc lộ một đại lượng nào này mà ta đề xuất phảiquan tâm của bài bác toán.? (II) Các ràng buộc của bài xích toánLà những phương trình hoặc bất phương thơm trình con đường tính n đổi thay số, có mặt từ bỏ điều kiện củabài xích toán.? (III) Các các tinh giảm về vết của các đổi thay sốNgười ta cũng thường xuyên trình diễn bài bác toán quy hoạch đường tính dưới dạng ma trận nhưsau : 8/129 MATHEDUCARE.COMgọi ai (i=1→m) thuộc dòng máy i của ma trận A, ta tất cả :Người ta call :- A là ma trận thông số các buộc ràng.- c là vectơ ngân sách (cT là chuyển vị của c)- b là vectơ giới hạn các ràng buộc.Quy hoạch con đường tính dạng chính tắcBài toán quy hoạch đường tính chính tắc là bài toán quy hoạch đường tính mà trong đócác ràng buộc chỉ tất cả lốt = với các biến đổi số các ko âm. 9/129 MATHEDUCARE.COMNgười ta hoàn toàn có thể đổi khác bài tân oán quy hoạch tuyến tính dạng tổng thể thành bài bác toánquy hoạch con đường tính dạng chính tắc nhờ vào những nguyên tắc dưới đây :- Nếu gặp gỡ ràng buộc i tất cả dạng ≤ thì bạn ta cộng thêm vào vế trái của ràng buộc mộtbiến phụ xn+i ≥ 0 và để được vết = .- Nếu gặp buộc ràng i có dạng ≥ thì tín đồ ta trừ vào vế trái của ràng buộc một biến chuyển phụxn+i ≥ 0 sẽ được vệt = .Các đổi mới prúc chỉ nên rất nhiều đại lượng hỗ trợ chúng ta biến đổi những ràng buộc dạng bất đẳng thức thànhđẳng thức, nó buộc phải không ảnh hưởng gì mang lại hàm kim chỉ nam đề xuất ko xuất hiện tronghàm kim chỉ nam.- Nếu đổi mới xj ≤ 0 thì ta đặt xj = -x’j cùng với x’j ≥ 0 rồi ráng vào bài xích toán.- Nếu biến hóa xj là tuỳ ý thì ta đặtrồi cầm cố vào bài bác toán.- Trong trường đúng theo trong những các buộc ràng gồm chiếc nhưng vế buộc phải của cái chính là giá trị âmthì đổi vệt cả nhì vế sẽ được vế yêu cầu là 1 trong những quý giá không âm.Dựa vào các phép biến hóa bên trên nhưng bạn ta nói theo một cách khác rằng b ài toán quy hoạch tuyếntính chính tắc là bài bác toán quy hoạch tuyến đường tính nhưng mà trong đó những buộc ràng chỉ tất cả vệt =, vế nên với những vươn lên là số hầu hết ko âm. 10/129 MATHEDUCARE.COMlấy ví dụ như :Biến đổi bài tân oán quy hướng tuyến tính tiếp sau đây về dạng thiết yếu tắc :Bằng các sửa chữa thay thế :ta được :tuyệt : 11/129 MATHEDUCARE.COMPhương ánXét bài toán thù quy hướng tuyến đường tính thiết yếu tắc :(P) • x=
Xem thêm: Tìm Hiểu Về Oauth 2.0 Là Gì ? Điểm Mạnh Và Yếu Của Oauth Oauth Là Gì



Xem thêm: Cyka Blyat Là Gì - Cyka Blyat Tiếng Việt Có Nghĩa Là Gì

xn> T là một trong cách thực hiện của (P) Khi còn chỉ Lúc Ax = b. • x= T là một trong cách thực hiện khả thi của (P) Khi còn chỉ Lúc Ax = b cùng x ≥ 0.Một phương án buổi tối ưu của (P) là một trong phương pháp khả thi của (P) cơ mà giá trị của hàm mụctiêu khớp ứng đạt min/max. 12/129 MATHEDUCARE.COMĐặc điểm của những tập hợp các phương ánKhái niệm lồi cùng các tính chấtTổ hòa hợp lồi- Cho m điểm xi trong không gian Rn . Điểm x được call là tổng hợp lồi của các điểm xinếu :- lúc x là tổ hợp lồi của hai điểm x1, x2 tín đồ ta thường viết :x=λx1+(1-λ)x2 (0≤λ≤1)Nếu 0 MATHEDUCARE.COMTập vừa lòng rỗng với tập hợp chỉ có 1 phần tử được coi là tập hợp lồi.Định lýGiao của một số trong những ngẫu nhiên các tập phù hợp lồi là 1 tập thích hợp lồi.Định lýNếu S là một tập thích hợp lồi thì S chứa đều tổng hợp lồi của một bọn họ điểm ngẫu nhiên trong S.Ðiểm rất biên của một tập phù hợp lồiÐiểm x vào tập lồi S ⊂ Rn được gọi là điểm cực biên nếu như không thể trình diễn được xbên dưới dạng tổ hợp lồi thật sự của nhì điểm minh bạch của S.4- Ða diện lồi với tập lồi đa diệnĐa diện lồiTập thích hợp S tất cả những tổng hợp của các điểm x1, x2,....,xm mang đến trước được call là đa diện lồira đời bởi vì những điểm này.Đa diện lồi là một trong những tập thích hợp lồi. 14/129 MATHEDUCARE.COMTrong nhiều diện lồi người ta rất có thể sa thải dần các điểm là tổ hợp của các điểm sót lại.Lúc đó người ta chiếm được một hệ các điểm, mang sử là y1, y2,...,yp (p≤m) . Các điểm nàychính là các điểm rất biên của nhiều diện lồi, bọn chúng sinh ra đa diện lồi kia.Số điểm rất biên của nhiều diện lồi là hữu hạn.Siêu phẳng - Nửa không gianA=m.n là ma trận cung cấp m.nAi (i=1,2,...,m) là sản phẩm trang bị i của ASiêu phẳng vào Rn là tập các điểm x=T thỏaAi x = b iNửa không gian trong Rn là tập những điểm x=T thỏaAi x ≥ b iSiêu phẳng với nửa không gian phần đông là những tập phù hợp lồi.Tập lồi đa diệnGiao của một vài hữu hạn những nửa không gian vào Rn được hotline là tập lồi đa diện.Tập lồi đa diện là 1 tập vừa lòng lồi.Nếu tập lồi đa diện không trống rỗng với giới nội thì kia là 1 đa diện lồiđiểm sáng của tập thích hợp những pmùi hương ánÐịnh lýTập hợp những cách thực hiện của một quy hướng đường tính là một trong tập lồi nhiều diện. 15/129 MATHEDUCARE.COMNếu tập phù hợp lồi nhiều diện này không trống rỗng và giới nội thì đó là một trong đa diện lồi, số điểmrất biên của chính nó là hữu hạn.Ðịnh lýTập hợp các cách thực hiện về tối ưu của một quy hướng đường tính là 1 trong tập lồi.Xét quy hướng tuyến đường tính bao gồm tắcGiả sử A=m.n tất cả cấp m.n, m ≤ n, rang(A)=m .Hotline Aj (j=1,2,...,n) cột trang bị j của ma trận A, quy hướng đường tính chủ yếu tắc bên trên bao gồm thểviết :Gọi S=x=T ≥ 0 / x1A1+ x2A2+...+ xnAn=b là tập các phương án của bàitoán thù.∈ S là một trong giải pháp khác 0.Định lýĐiều kiện cần với đủ nhằm x0 là phương án rất biên ( điểm rất biên của S) là các cột Ajứng với x0j >0 là tự do tuyến đường tính.Hệ quảSố giải pháp rất biên của một quy hướng tuyến tính thiết yếu tắc là hữu hạn. Số thànhphần > 0 của một phương án rất biên buổi tối nhiều là bằng m. 16/129 MATHEDUCARE.COMKhi số nguyên tố > 0 của một cách thực hiện rất biên bằng đúng m thì phương án kia đượcHotline là một trong những phương pháp các đại lý.Định lýNếu tập các phương án của một quy hướng tuyến tính bao gồm tắc ko rỗng thì quy hoạchcon đường tính kia tất cả ít nhất một phương pháp rất biên.Bổ đềNếu¯x là một cách thực hiện buổi tối ưu của quy hướng con đường tính.x1, x2 là các giải pháp của quy hướng con đường tính.¯x là tổ hợp lồi thực thụ của x1, x2thì x1, x2 cũng chính là phương pháp về tối ưu của quy hoạch đường tính.Định lýNếu quy hướng tuyến tính chính tắc bao gồm phương án buổi tối ưu thì thì sẽ có được ít nhất một phươngán rất biên là giải pháp buổi tối ưu.ví dụ như : xét quy hoạch tuyến tính chủ yếu tắcVới hệ A1 A2 ta tính đượcVới hệ A1 A3 ta tính được 17/129 MATHEDUCARE.COMVới hệ A2 A3 ta tính đượcVì các yếu tắc của giải pháp rất biên là > 0 đề nghị ta bỏ ra xét x2 và x3 . Khi đó :z(x2)=2.1+3.0=2z(x3)=2.0+3.1/3=1 TVậy x2 = < 1 0 1 > là một cách thực hiện tối ưu.Định lýĐiều khiếu nại đề nghị và đủ để một quy hoạch đường tính bao gồm phương pháp tối ưu là tập những phươngán không rỗng với hàm kim chỉ nam bị ngăn.Định lýNếu tập những cách thực hiện của một quy hướng đường tính ko rỗng cùng là một trong nhiều diện lồithì quy hoạch đường tính kia sẽ có được tối thiểu một cách thực hiện cực biên là phương án buổi tối ưu.Phương thơm pháp hình họcTừ rất nhiều công dụng bên trên bạn ta gồm phương pháp giải một quy hoạch tuyến tính nhị thay đổi bằngphương thức hình học trải qua ví dụ sau :lấy ví dụ như : xét quy hướng đường tính 18/129