Eigenvalue Là Gì

  -  

Eigenvalues cùng eigenvectors xuất hiện thêm cực kì những trong những ngành công nghệ và kỹ thuật: Vật Lý, xác suất thống kê, KHMT, kim chỉ nan trang bị thị, v.v. Để đọc ý nghĩa sâu sắc của chúng, gồm nhì hướng quan sát thịnh hành, vận dụng được vào không hề ít ngôi trường hợp.

Bạn đang xem: Eigenvalue là gì

1. Loại bộ động cơ (motivation) trước tiên.

Trong nhiều áp dụng ta thường nên làm phép tính sau đây: cho trước một ma trận A với những vectors x, tính 

*
 với tương đối nhiều quý hiếm khác biệt của số mũ 
*
lấy ví dụ như 1: nếu A là ma trận của một phép chuyển đổi tuyến đường tính (linear transformation) làm sao kia, nhỏng phnghiền tảo và co dãn đàn hồi trong computer graphics ví dụ điển hình, thì 
*
 đã tạo ra kết quả của phxay BĐTT này vận dụng k lần vào x. Các games máy tính hay những annimations vào phyên của Hollywood tất cả vô vàn những phxay thay đổi hình dạng này. Mỗi một object vào computer graphics là một trong những cỗ rất nhiều những vector x. Quay một object nhiều lần là làm phép nhân 
*
 cùng với từng vectors x màn biểu diễn object kia. Khối hận lượng tính toán là lớn lao, mặc dù chỉ vào không gian 3 chiều. Ví dụ 2: giả dụ A là transition matrix của một chuỗi Markov rời rạc cùng x là distribution của tinh thần hiện giờ, thì 
*
 đó là distribution của chuỗi Markov sau k bước. ví dụ như 3: những phương thơm trình không nên phân (difference equation) nlỗi hình trạng phương thơm trình 
*
 cũng rất có thể được viết thành dạng 
*
 để tính 
*
 cùng với k tùy ý. lấy ví dụ như 4: lũy quá của một ma trận xuất hiện thêm tự nhiên và thoải mái lúc giải các phương trình vi phân, mở ra trong knhị triển Taylor của ma trận 
*
 chẳng hạn.

Tóm lại, vào không ít vận dụng thì ta cần tính tân oán siêu nhanh khô lũy thừa của một ma trận vuông, hoặc lũy vượt nhân một vector.

Mỗi ma trận vuông thay mặt cho một phnghiền BĐTT nào đó. Lũy vượt bậc k của ma trận thay mặt có thể chấp nhận được thay đổi này vận dụng k lần. Ngược lại, ngẫu nhiên phnghiền BĐTT nào thì cũng rất có thể được đại diện bởi một ma trận. Có tương đối nhiều ma trận đại diện mang đến cùng một BĐTT, tùy thuộc vào ta chọn hệ cửa hàng nào. Mỗi lúc ta viết một vector bên dưới dạng 

*
 là ta đã ngầm định một hệ đại lý nào kia, hay là hệ đại lý trực chuẩn 
*
*
, và 
*
. Các tọa độ 3, -2, 5 của x là khớp ứng cùng với tọa độ của x trong hệ cơ sở ngầm định này.

Hệ cơ sở 

*
 nlỗi trên hay được dùng bởi ta “dễ” hình sử dụng bọn chúng trong không gian n chiều, chúng là sản phẩm phụ của hệ tọa đồ vật Descartes cổ điển xuất xắc sử dụng vào không gian 2 chiều. Tuy nhiên, Khi vận dụng một phnghiền BĐTT thì các vectors 
*
 thường xuyên cũng bị biến hóa theo luôn luôn, rất bất tiện ví như ta cần tính 
*
 mang lại nhiều quý giá k cùng x khác nhau.

Bây tiếng, trả sử ta kiếm tìm được 

*
 phía hòa bình con đường tính cùng bất biến qua phxay BĐTT thay mặt bởi vì A. (Đây là trả sử rất táo tợn, may mà nó lại thường đúng trong số vận dụng nói trên.) Dùng vector 
*
 để màn biểu diễn phía thứ 
*
. Bất thay đổi Có nghĩa là vận dụng A vào phía nọ thì phía ko đổi. Cụ thể hơn, BĐTT A làm cho hướng 
*
 “bất biến” nếu 
*
 với 
*
 là 1 số lượng (scalar) thực hoặc phức làm sao kia (mặc dù ta trả sử A là thực). Do các hướng này tự do tuyến tính, một vector x ngẫu nhiên hầu như viết được dưới dạng

*

Nếu ta lấy 

*
 có tác dụng hệ đại lý thì cái xuất xắc là tất cả vận dụng A bao nhiêu lần thì cũng không thay đổi phía của các vectors vào hệ cơ sở! Điều này rất tiện nghi, vày vì

*

vì vậy, cố gắng vày tính lũy thừa bậc cao của một ma trận, ta chỉ việc tính lũy vượt của n con số và có tác dụng một phxay cộng vectors đơn giản dễ dàng. Các giá chỉ trị 

*
là những trị đặc trưng (eigenvalues) của A, cùng những vectors 
*
 là những vector đặc trưng (eigenvectors).

Xem thêm: Phê Duyệt Quy Hoạch Phân Khu 1/2000 Phường Lương Sơn, Quy Hoạch Phân Khu Tỷ Lệ 1/2000 Phường Lương Sơn

Tiếp tục cùng với trả thiết siêu khỏe mạnh là n eigenvectors độc lập đường tính với nhau. Nếu ta bỏ những vectors này vào những cột của một ma trận 

*
, với những eigenvalues khởi hành chéo cánh của một ma trận 
*
 thì ta có 
*
. Trong ngôi trường đúng theo này ma trận A có tính diagonalizable (chéo cánh hóa được). Diagonalizability cùng sự độc lập tuyến đường tính của n eigenvectors là nhị thuộc tính tương đương của một ma trận. trái lại, ta cũng có 
*
, cùng vì thế lũy thừa của A rất đơn giản tính: 
*
 vì chưng lũy vượt của một ma trận mặt đường chéo rất dễ dàng tính.

Cụm tự “khả năng mặt đường chéo hóa được” (diagonalizability) nghe tởm răng thừa, bao gồm các bạn làm sao biết tiếng Việt là gì không?

Nếu ta hiểu rằng các eigenvectors và eigenvalues của một ma trận thì — ngoài vấn đề tính lũy quá của ma trận — ta còn sử dụng bọn chúng vào rất nhiều việc khác, tùy thuộc vào vận dụng ta đang xét. Ví dụ: tích các eigenvalues bằng với định thức, tổng bởi cùng với trace, khoảng cách thân eigenvalue lớn nhất và lớn nhì của transition matrix của một chuỗi Markov đo tốc độ quy tụ mang đến equilibrium (mixing rate) với eigenvector đầu tiên là steady state distribution, vân vân.

Quay lại với chiếc “mang thiết siêu mạnh” nghỉ ngơi trên. Có một một số loại ma trận mà lại mang thiết này đúng; với chưa dừng lại ở đó nữa, ta rất có thể kiếm được những eigenvectors vuông góc nhau, đó là các normal matrices. Rất nhiều vận dụng trong kỹ thuật cùng kỹ thuật mang đến ta những normal matrices. Các trường hòa hợp quan trọng thường bắt gặp là những ma trận (thực) đối xứng cùng những ma trận Hermitian (đối xứng theo nghĩa phức).

Còn những ma trận không thỏa mãn “giả thiết khôn xiết mạnh” này, tức là không diagonalizable, thì làm những gì cùng với chúng? Ta hoàn toàn có thể kiếm tìm cách tạo nên chúng rất “gần” với một ma trận đường chéo bằng phương pháp viết chúng thành dạng chuẩn chỉnh Jordan. Đề tài này nằm ngoài phạm vi bài sẽ viết.

2. Loại động cơ (motivation) sản phẩm nhị.

Trong không hề ít áp dụng, ta “được” thao tác làm việc với một ma trận đối xứng: nó tất cả đầy đủ bộ eigenvectors, do đó diagonalizable với chính vì như thế rất có thể xây cất những thuật tân oán tác dụng cho những bài toán thù tương ứng. Không hồ hết đối xứng, chúng còn có một trực thuộc tính khỏe mạnh hơn nữa hotline là positive (semi) definite, tức là những eigenvalues đầy đủ không âm. ví dụ như 1: bài toán thù least squares 

*
 gồm áp dụng mọi chỗ (linear regression vào statistics chẳng hạn) dẫn mang đến ma trận symmetric positive sầu (semi) definite 
*
Ví dụ 2: bài toán xác minh coi một một điểm tới hạn của một hàm đa trở nên ngẫu nhiên gồm bắt buộc là vấn đề rất đái hay là không tương tự với khẳng định xem ma trận đối xứng Hessian của những đạo hàm bậc nhì tại đặc điểm đó là positive definite. lấy ví dụ 3: ma trận covariance của một random vector (hoặc một tập hợp rất nhiều sample vectors) cũng chính là positive (semi) definite.

Xem thêm: Berkshire Hathaway Là Gì, Một Vài Thông Tin Bạn Cần Quan Tâm

Nếu A là 1 trong ma trận symmetric positive sầu definite thì ta rất có thể gọi các eigenvectors và eigenvalues theo cách khác. Bất phương thơm trình

*

trong đó c là một hằng số dương là 1 bất phương trình bậc 2 với n biến 

*
 (những tọa độ của vector x). Nghiệm của chính nó là những điểm phía trong một hình e-líp vào không khí n chiều (Ellipsoid) nhưng n trục của ellipsoid đó là phía của các eigenvectors của A, và chiều nhiều năm những trục tỉ trọng nghịch với eigenvalue tương ứng (tỉ lệ với nghịch hòn đảo của cnạp năng lượng của eigenvalue). Đây là trực quan lại hình học phổ cập đồ vật nhì của eigenvectors với eigenvalues.

Trong ngôi trường hòa hợp của Principal Component Analysis (PCA) nlỗi tất cả các bạn vẫn hỏi trong phần comment bài bác bốn duy trừu tượng, thì ta hoàn toàn có thể hiểu nôm na về sự lộ diện của eigen-vectors/values nhỏng sau. Giả sử ta bao gồm một đụn các sample vectors (data points) bên trên một không gian n chiều như thế nào kia. Các tọa độ là exponentially distributed (Gaussian noise chẳng hạn). Thì nhiều phần các vectors này tập trung vào một ellipsoid tư tưởng vì chưng covariance matrix (positive sầu semi-definite). Trục nhiều năm tuyệt nhất của ellipsoid là trục gồm variance cao nhất, tức thị SNR cao. Trục này chỉ mang lại ta hướng phát triển thành thiên đặc trưng độc nhất vô nhị của data. PCA mang các trục của ellipsoid làm cho hệ cơ sở, sau đó lấy k trục nhiều năm độc nhất vô nhị làm principal components để màn biểu diễn data. (Dĩ nhiên, ta buộc phải shift dòng mean về nơi bắt đầu tọa độ trước lúc thay đổi hệ các đại lý.)